普通自動車を廃車にしようと思うのですが、廃車手続きは陸運支局で行うのでしょうか？また、車は茨城ナンバーのものですが、今住んでいる埼玉県の陸運支局でも手続きできるのでしょうか？

他県ナンバーでも管轄の陸運支局で行えますよ。廃車であれば、印鑑証明書１通と実印・ナンバープレート・車検証（記載された住所と現住所の記載された住民票も１通）それとリサイクル費用（車によって違いますが約￥12、000－程度です）も必要です。