3月31日までに現在所有している車を廃車するなり、他の人への名義変更すればその車の分の税金は請求されないのですか？

４月１日に貴方の名義で無くなれば貴方に納税の義務は発生しません。つまり、４月１日 に他人に名義変更なり、抹消登録を完了すれば、貴方に納税義務はありません。万一、抹消登録が間に合わない時は４月の内に抹消すれば１ヵ月分の納税で済み ます。但し、登録車両（軽自動車を除く）の場合です。